Длина медианы правильного треугольника

Медиана – это один из характеризующих отрезков треугольника, наравне с биссектрисой и высотой. Особую сложность у учеников часто вызывают задачи на нахождение медианы. В обычном случае приходится применять формулу, но для правильного треугольника можно вывести упрощенную версию нахождения медианы.

Необходимые данные

Для вывода формул потребуется вспомнить несколько теоретических выкладок:

  • Медиана это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
  • В равнобедренном треугольнике, медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. А правильный треугольник это частный случай равнобедренного треугольника, у которого основанием может выступать любая из сторон. Значит каждая медиана равностороннего треугольника будет совпадать с соответствующей биссектрисой и высотой.
  • В правильном треугольнике все стороны равны, а каждый из углов равен 60 градусам.

Нахождение медианы по общей формуле

Для начала воспользуемся общей формулой. Вспомним формулу длины медианы через длины сторон треугольника:

Медиана в правильном треугольнике

Рис. 1. Медиана в правильном треугольнике.

$$m_c={{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\over{2}}$$

Но в правильном треугольнике все стороны равны между собой:

a=b=c

Подставим условия равенства в формулу и приведем подобные слагаемые:

$$m_c={{\sqrt{2a^2+2а^2-а^2}}\over{2}}$$

$$m_c={{\sqrt{3a^2}}\over{2}}$$

Значение $ {a^2} $ можно вынести за пределы корня. Тогда:

$$m_c={{\sqrt{3a^2}}\over{2}}$$

$$m_c={{\sqrt{3}}\over{2}*а}$$

Нахождением медианы через теорему Пифагора

Теперь попробуем вывести ту же формулу через теорему Пифагора.

В имеющемся правильном треугольнике АВС проведем медиану АМ. Она совпадет с биссектрисой и высотой. Тогда по теореме Пифагора из треугольника АВМ найдем сторону АМ, которая и будет являться медианой большого треугольника.

Рисунок к задаче

Рис. 2. Рисунок к задаче.

$$АМ=\sqrt{AB^2-BM^2}$$

Но все стороны треугольника равны, а точка М является серединой стороны ВС. Значит:

$$АВ=а$$

$$ВМ={1\over2}BC={1\over2}a$$

Подставим эти значения в начальную формулу:

$$АМ={\sqrt{AB^2-BM^2}}= {\sqrt{а^2-{{а}\over{2}}^2}}= \sqrt{а^2-{{а^2}\over{4}}}=\sqrt{{3a^2}\over{4}}$$

Вынесем значения $a^2$ и 4 за знак корня.

$$АМ=\sqrt{{3a^2}\over{4}}=a*{{3}\over{\sqrt{2}}}$$

Получилась та же формула длины медианы правильного треугольника. Значит, вывод первым способом был осуществлен верно и можно использовать любой из двух способов, если вы вдруг забыли формулу нахождения медианы правильного треугольника.

Точка пересечения медиан правильного треугольника

Рис. 3. Точка пересечения медиан правильного треугольника.

Последний метод очень часто используется не только для вывода формул правильного треугольника, но и для решения задач.

Что мы узнали?

Мы несколькими методами вывели формулу длины медианы правильного треугольника. Указали на метод решения простых задач на нахождение характеристик правильного треугольника, а так же вспомнили основные свойства медианы.

Тест по теме

  1. Вопрос 1 из 5

    В правильном треугольнике…

Начать тест(новая вкладка)

Оценка статьи

Средняя оценка: 3.9. Всего получено оценок: 271.

Предметы