Площадь прямого треугольника

Прямоугольный треугольник отличается от произвольных целым рядом параметров. Это и значение сторон, которое можно рассчитать по теореме Пифагора; возможность напрямую использовать тригонометрические функции и несколько специфичных формул, предназначенных для расчета площади именно прямоугольных треугольников. Именно об этих формулах и пойдет речь в данной статье.

Формула площади прямоугольного треугольника

В классическом случае, площадь треугольника находится как половина произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Площадь произвольного треугольника

Рис. 1. Площадь произвольного треугольника.

В прямоугольном треугольнике для двух из трех сторон высоты и сами стороны совпадают. Рассмотрим на примере.

Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине В. Для катета ВС высотой будет катет АВ, а для катета АВ высотой служит сторона ВС. Только гипотенуза нуждается в дополнительных построениях для нахождения высоты.

Прямой треугольник

Рис. 2. Прямой треугольник.

Именно из этих особенностей и вытекает формула площади прямого треугольника.

$S= {1\over2}a*b$ где a и b это катеты треугольника. То есть значение двух сторон просто подставили в классическую формулу. В итоге получается самая простая из возможных формул для нахождения площади прямоугольного треугольника. Рассмотрим несколько неклассических ситуаций, когда значение катетов неизвестно.

Если в задаче о прямоугольном треугольнике дается значение высоты, то имеется в виду перпендикуляр, проведенный к гипотенузе.

Задача

  • В прямоугольном треугольнике высота равняется 8, а острый угол при гипотенузе 60 градусов. Найти площадь прямого треугольника.

Пример рисунка к задаче

Рис. 3. Пример рисунка к задаче.

Для каждой геометрической задачи существует, как минимум 3 решения.

Конкретно в нашем случае можно выделить два простых способа:

  • Найти гипотенузу и определить значение площади по классической формуле.
  • Найти каждый из катетов и найти площадь через катеты.

Рассмотрим каждый из вариантов, чтобы иметь представление о возможных путях решения подобных задач.

Обозначим треугольник АВС, проведем высоту ВН. Угол АСВ равен 60 градусов. Найдем гипотенузу. Она состоит из двух отрезков АН и НС. Найдем каждый из отрезков, сложим их и получим искомое значение.

АН найдем из прямоугольного треугольника АНВ с прямым углом у вершины Н. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна 90 градусам. Значит Угол ВАС=90-60=30.

Воспользуемся тригонометрической функцией. Воспользуемся значением тангенса:

$$tg(BAC)= {BH\over AH}=\sqrt{3}$$ – значение тангенса можно взять из таблицы Брадиса или запомнить его для трех характерных углов 30, 45 и 60 градусов.

$$АН={ВН\over\sqrt{3}}= {8\over\sqrt{3}}=4,62$$

Получившийся результат мы округлим до сотых. Не стоит бояться получившихся длинных дробных значений. В вычислениях они встречаются постоянно, нужно просто правильно округлять полученные значения.

По схожей схеме вычислим НС из прямоугольного треугольника ВНС.

$$tg(НСВ)={ВН \over НС}={1 \over \sqrt{3}}$$

$$HC={BH\over tg(HCB)}={BH\over{1\over\sqrt{3}}}=BH*\sqrt{3}=8*\sqrt{3}=13,87$$

Значение снова округлим до сотых. Два получившихся значения сложим и посчитаем значение площади.

АС=АН+НС=4,62+13,87=18,49

$$S={1\over2}*BH*AC={1\over2}*8*18,49=73,96$$

Приведем решение через катеты и сравним результаты.

В прямоугольном треугольнике ВНС сторона ВС выступает гипотенузой. Воспользуемся значением синуса:

$$sin(ACB)={BH\over BC}={\sqrt{3}\over2}$$

Значение синуса для угла в 60 градусов является табличным значением.

$$BC=BH/sin(ACB)=8/(\sqrt{3}/2)=16/\sqrt{3}=9,23$$

Подобным методом определим значение второго катета из треугольника АНВ:

$$sin(BAH)=BH/AB=1/2$$

$$AB=BH/(1/2)=BH*2=16$$

Оба катета найдены, можно подсчитать значение площади:

$$S=1/2*AB*BC=1/2*16*9,23=73,84$$

Получившиеся значения схожи. Различие в сотых легко объясняется округлениями, которые выполнялись для удобства расчета. В подобных вычислениях расхождение в единицу считается допустимым.

Что мы узнали?

Мы досконально разобрали формулу нахождения площади прямоугольного треугольника. Показали другие варианты нахождения площади, подробно разобрали различные пути решения задач на нахождение площади прямоугольного треугольника.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.3. Всего получено оценок: 148.

Предметы