Свойства прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник выделяется на фоне остальных треугольников. Прямой угол наделяет его целым рядом специфических свойств. Разберемся, какими именно свойствами обладает прямоугольный треугольник и почему.

Что такое прямоугольный треугольник?

Прямоугольный треугольник – это треугольник, содержащий прямой угол.

Сторона, лежащая напротив прямого угла, зовется гипотенузой, две другие стороны всегда называются катетами.

Каждый катет всегда меньше гипотенузы и при этом сумма катетов всегда больше гипотенузы. Это следует из теоремы о неравенстве в треугольнике.

Свойства

Свойства не имеют нумерации. Нельзя сказать, что катет меньше гипотенузы по свойству 1 или 2. Говорят просто, что катет меньше гипотенузы по свойству прямоугольного треугольника.

Перечислим и докажем свойства прямоугольного треугольника:

  • Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Это не совсем свойство, это теорема Пифагора, но некоторые учебники геометрии упорно продолжают называть его свойством. С другой стороны теорема работает только для прямоугольных треугольников, поэтому в какой-то мере можно считать её свойством. Но в решении всегда пишут «по теореме Пифагора»

Прямоугольный треугольник

Рис. 1. Прямоугольный треугольник.

  • Окружность, описанная вокруг прямоугольного треугольника, имеет центр в середине гипотенузы. Это свойство доказать очень просто. Центр описанной окружности – это точка пересечения серединных перпендикуляров. Серединные перпендикуляры от катетов всегда будут пересекаться в середине гипотенузы. Потому отрезок, который выходит из середины катета, параллельно другому катету – это средняя линия, соединяющая катет и гипотенузу. Вот и все доказательство.
  • В прямоугольном треугольнике, медиана, проведенная к гипотенузе, равняется половине гипотенузы.

Докажем это свойство. В прямоугольном треугольнике АВС проведем медиану ВР. Проведем прямую ВМ, проходящую через точку Р так, что ВР=РМ. Тогда два треугольника: АМР и ВРС – будут равны по двум сторонам и углу между ними. АР=РС – потому что Р – это конец медианы, а медиана соединяет вершину и середину противолежащей стороны. То есть, Р – это середина АС. ВР = РМ по построению, а угол АРМ равен углу ВРС как вертикальные углы. Раз треугольники равны, значит, равны и соответственные элементы и ВР=АР, а значит ВР=АР=РС.

Рисунок к задаче

Рис. 2. Рисунок к задаче.

  • В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов. В любом треугольнике сумма углов равна 180 градусам. В прямоугольном треугольнике один из углов всегда известен – прямой. Значит можно привести следующую формулу для доказательства этого свойства прямоугольного треугольника: 180-90=90.

Из этого утверждения так же вытекает факт того, что существование тупоугольного прямоугольного треугольника невозможно.

Сумма углов треугольника

Рис. 3. Сумма углов треугольника.

Что мы узнали?

Из статьи мы узнали об основных свойствах прямоугольного треугольника, применяемых в решении задач, и привели доказательства каждому из них. Мы узнали о том, что тупоугольного прямоугольного треугольника не существует и доказали это при помощи формулы.

Тест по теме

  1. Вопрос 1 из 10

    Как называется наибольшая сторона прямоугольного треугольника?

Начать тест(новая вкладка)

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.4. Всего получено оценок: 159.

Предметы