Образовака📐 Геометрия7 классТреугольники

Свойства прямоугольного треугольника

4.4

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 458.

Прямоугольный треугольник выделяется на фоне остальных треугольников. Прямой угол наделяет его целым рядом специфических свойств. Разберемся, какими именно свойствами обладает прямоугольный треугольник и почему.

Что такое прямоугольный треугольник?

Прямоугольный треугольник – это треугольник, содержащий прямой угол.

Сторона, лежащая напротив прямого угла, зовется гипотенузой, две другие стороны всегда называются катетами.

Каждый катет всегда меньше гипотенузы и при этом сумма катетов всегда больше гипотенузы. Это следует из теоремы о неравенстве в треугольнике.

Свойства

Свойства не имеют нумерации. Нельзя сказать, что катет меньше гипотенузы по свойству 1 или 2. Говорят просто, что катет меньше гипотенузы по свойству прямоугольного треугольника.

Перечислим и докажем свойства прямоугольного треугольника:

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Это не совсем свойство, это теорема Пифагора, но некоторые учебники геометрии упорно продолжают называть его свойством. С другой стороны теорема работает только для прямоугольных треугольников, поэтому в какой-то мере можно считать её свойством. Но в решении всегда пишут «по теореме Пифагора»

Окружность, описанная вокруг прямоугольного треугольника, имеет центр в середине гипотенузы. Это свойство доказать очень просто. Центр описанной окружности – это точка пересечения серединных перпендикуляров. Серединные перпендикуляры от катетов всегда будут пересекаться в середине гипотенузы. Потому отрезок, который выходит из середины катета, параллельно другому катету – это средняя линия, соединяющая катет и гипотенузу. Вот и все доказательство.
В прямоугольном треугольнике, медиана, проведенная к гипотенузе, равняется половине гипотенузы.

Докажем это свойство. В прямоугольном треугольнике АВС проведем медиану ВР. Проведем прямую ВМ, проходящую через точку Р так, что ВР=РМ. Тогда два треугольника: АМР и ВРС – будут равны по двум сторонам и углу между ними. АР=РС – потому что Р – это конец медианы, а медиана соединяет вершину и середину противолежащей стороны. То есть, Р – это середина АС. ВР = РМ по построению, а угол АРМ равен углу ВРС как вертикальные углы. Раз треугольники равны, значит, равны и соответственные элементы и ВР=АР, а значит ВР=АР=РС.

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов. В любом треугольнике сумма углов равна 180 градусам. В прямоугольном треугольнике один из углов всегда известен – прямой. Значит можно привести следующую формулу для доказательства этого свойства прямоугольного треугольника: 180-90=90.

Из этого утверждения так же вытекает факт того, что существование тупоугольного прямоугольного треугольника невозможно.

Что мы узнали?

Из статьи мы узнали об основных свойствах прямоугольного треугольника, применяемых в решении задач, и привели доказательства каждому из них. Мы узнали о том, что тупоугольного прямоугольного треугольника не существует и доказали это при помощи формулы.