Медиана равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник стоит особняком среди всех фигур: в нем легко можно найти значение всех сторон и углов, так как все углы известны заранее, а найдя одну сторону, можно найти сразу все три. Но именно из-за этих свойств, составители задач любят писать каверзные условия, в которых не всегда можно разобраться с первого раза, например, не всегда можно понять, что такое медиана, потому что человеку проще воспринимать понятие высоты, нежели медианы. Рассмотрим же понятие медианы в равностороннем треугольнике подробно.

Определения

Равносторонний треугольник – это треугольник, все стороны которого равны, а углы по 60 градусов.

Равносторонний треугольник это частный случай равнобедренного, но в равностороннем любую сторону можно считать основанием.

Равносторонний треугольник

Рис. 1. Равносторонний треугольник.

Из этого следует, что любая высота равностороннего треугольника является медианой и биссектрисой, так как любая высота проводится к стороне, которую можно считать основанием.

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположно стороны. Медиана также имеет ряд свойств, которые можно использовать в решении задач.

Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и делят эту точку в отношении 2:3, считая от вершины. При этом медианы разбивают треугольник на 6 разновеликих треугольников. Если посмотреть на рисунок, то можно увидеть, что в равностороннем треугольнике каждый из 6 этих треугольников будет прямоугольным.

Формула медианы равностороннего треугольника

Выведем формулу медианы равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике АВС проведем высоту АН. Она же будет являться медианой и высотой. Медиана разобьет треугольник на два прямоугольных: АНС и АНВ. Рассмотрим треугольник АНС.

Рис. 2. Рисунок к задаче.

В нем применим теорему Пифагора:

$$АС^2=AH^2+HC^2$$

$$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}$$

Каждую из сторон обозначим буквой а. Тогда АВ=а; $$ВН={а\over2}$$

$$АН=\sqrt{a^2-{a\over2}^2}=\sqrt{a^2-{a^2\over4}}$$

Это и есть формула медианы равностороннего треугольника. С другой стороны, можно воспользоваться тригонометрическими тождествами и вывести еще одну формулу:

$$sin(ACH)={AH\over AC}$$

При этом угол АСН равен 60 градусам. Значит, можно определить синус угла: $$sin(ACH)={\sqrt{3}\over 2}$$

Выразим значение медианы АН

$$АН=sin(ACH)*AC={\sqrt{3}\over2}*AC={\sqrt{3}\over2}*a$$

Вот еще одна формула, характерная для равностороннего треугольника.

Задача

Для закрепления темы решим простую задачу на обратное использование формулы медианы.

В равностороннем треугольнике медиана равна $$20\over{\sqrt{3}}$$. Найти площадь треугольника.

Для нахождения площади воспользуемся классической формулой.

Классическую формулу можно использовать для нахождения площади любого треугольника.

Для нее нам нужно значение стороны и высоты. Высота в равностороннем треугольнике совпадает с медианой, поэтому нужно найти только сторону. Выразим ее через формулу медианы равностороннего треугольника.

Рис. 3. Рисунок к задаче.

$$m={\sqrt{3}\over2}*a$$

$$a={m\over{\sqrt{3}\over2}}=m*{2\over\sqrt{3}}$$

Подставим в формулу значение медианы:

$$a={20\over\sqrt{3}}*{2\over\sqrt{3}}={40\over3}$$

Посчитаем площадь:

$$S={1\over2}*a*m={1\over2}*{40\over3}*{20 \over\sqrt{3}}={400\over{3\sqrt{3}}}$$

Что мы узнали?

Мы вывели две формулы медианы равностороннего треугольника, дали определения, необходимые для решения задач и решили небольшую задачу для закрепления знаний.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.6. Всего получено оценок: 211.

Предметы