Образовака📐 Геометрия7 классТреугольники

Стороны прямоугольного треугольника

4.3

Средняя оценка: 4.3

Всего получено оценок: 163.

Прямоугольный треугольник фигура особенная настолько, что для каждой из его сторон придумали отдельное название. Кроме того, существуют специальные способы нахождения сторон несколькими способами. Поговорим о каждом из них, обоснуем все формулы и решим несколько задач для примера.

Определение

Две стороны, прилежащие к прямому углу называются катетами. А сторона, противоположная прямому углу – гипотенузой. Зачем придумали эти названия? Просто для того, чтобы было удобнее запоминать определения. Например, определение синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе. Без специальных названий определения были бы слишком громоздкими.

Соотношение сторон в любом треугольнике таково, что напротив наибольшего угла лежит наибольшая сторона, поэтому самой большой стороной прямоугольного треугольника всегда является гипотенуза. С другой стороны, по теореме о неравенствах треугольника гипотенуза всегда меньше суммы катетов.

Рис. 1. Напротив большего угла большая сторона.

Что необходимо для того, чтобы без проблем решать треугольники, т. е. находить значение всех сторон и углов в прямоугольном треугольнике? Не так много: теорему Пифагора и тригонометрические тождества.

Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе. А косинус это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Задача 1

У сейфа ключ имеющий сечение прямоугольного треугольника. Для того, чтобы мастеру изготовить новый ключ, взамен утерянного, нужно восстановить значения сторон треугольника. Хозяин сейфа помнит только, что для измерения пользовался ниточкой в 1,5 см. И обмеряя каждую сторону он использовал ниточку 3,4 и 5 раз. Найти значение сторон прямоугольного треугольника.

У этой задачи интересная формулировка. Но по факту, если обозначить за букву, а размер нити, то получим размеры сторон прямоугольного треугольника: 3а, 4а и 5а. Гипотенуза будет размером 5а, так как это наибольший размер стороны.

Тогда, значение а нам известно: а=1,5. Найдем значение каждой из сторон.

$$3а=3*1,5=4,5$$

$$4а=4*1,5=6$$

$$5а=5*1,5=7,5$$

Вот и все решение задачи. Главное разобраться в условии и решение не покажется сложным.

Задача 2

В равнобедренном прямоугольном треугольнике основание равняется 8, а медиана, проведенная к гипотенузе, – 2. Найти катеты треугольника.

В этой задаче снова немного закручено условие. Для начала нужно разобраться, какая из сторон является основанием.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике основание – это всегда гипотенуза.

Если катет станет основанием, то другой катет и гипотенуза были бы равны между собой по определению равнобедренного треугольника, как боковые стороны. Но это невозможно, значит, основание это всегда гипотенуза.

Медиана проведена к гипотенузе, а значит к основанию. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является одновременно медианой, биссектрисой и высотой. Значит у нас есть значение основании и высоты. Найдем площадь, как половину произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию

$$S= {1\over2}*2*8=8$$

С другой стороны, в прямоугольном треугольнике площадь равна половине произведения катетов, а они в равнобедренном треугольнике равны.

$$S={1\over2}*а*а={1\over2}*a^2$$

Приравняем значения площади и выразим катет:

$$8={1\over2}*а^2$$

$$a^2=16$$

$$a=4$$

Ответ найден. Как видно из двух задач, единственная проблема в нахождении сторон прямоугольного треугольника – это разобраться в условии.

Что мы узнали?

Мы разобрались с вопросом нахождения сторон прямоугольного треугольника. Поговорили о том, как называются стороны такого треугольника. Выделили формулы и теоремы, необходимые для решения прямоугольных треугольников.