Стороны прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник фигура особенная настолько, что для каждой из его сторон придумали отдельное название. Кроме того, существуют специальные способы нахождения сторон несколькими способами. Поговорим о каждом из них, обоснуем все формулы и решим несколько задач для примера.

Определение

Две стороны, прилежащие к прямому углу называются катетами. А сторона, противоположная прямому углу – гипотенузой. Зачем придумали эти названия? Просто для того, чтобы было удобнее запоминать определения. Например, определение синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе. Без специальных названий определения были бы слишком громоздкими.

Соотношение сторон в любом треугольнике таково, что напротив наибольшего угла лежит наибольшая сторона, поэтому самой большой стороной прямоугольного треугольника всегда является гипотенуза. С другой стороны, по теореме о неравенствах треугольника гипотенуза всегда меньше суммы катетов.

Напротив большего угла большая сторона

Рис. 1. Напротив большего угла большая сторона.

Что необходимо для того, чтобы без проблем решать треугольники, т. е. находить значение всех сторон и углов в прямоугольном треугольнике? Не так много: теорему Пифагора и тригонометрические тождества.

Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе. А косинус это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Задача 1

У сейфа ключ имеющий сечение прямоугольного треугольника. Для того, чтобы мастеру изготовить новый ключ, взамен утерянного, нужно восстановить значения сторон треугольника. Хозяин сейфа помнит только, что для измерения пользовался ниточкой в 1,5 см. И обмеряя каждую сторону он использовал ниточку 3,4 и 5 раз. Найти значение сторон прямоугольного треугольника.

Рисунок к задаче

Рис. 2. Рисунок к задаче.

У этой задачи интересная формулировка. Но по факту, если обозначить за букву, а размер нити, то получим размеры сторон прямоугольного треугольника: 3а, 4а и 5а. Гипотенуза будет размером 5а, так как это наибольший размер стороны.

Тогда, значение а нам известно: а=1,5. Найдем значение каждой из сторон.

$$3а=3*1,5=4,5$$

$$4а=4*1,5=6$$

$$5а=5*1,5=7,5$$

Вот и все решение задачи. Главное разобраться в условии и решение не покажется сложным.

Задача 2

В равнобедренном прямоугольном треугольнике основание равняется 8, а медиана, проведенная к гипотенузе, – 2. Найти катеты треугольника.

Рисунок к задаче

Рис. 3. Рисунок к задаче.

В этой задаче снова немного закручено условие. Для начала нужно разобраться, какая из сторон является основанием.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике основание – это всегда гипотенуза.

Если катет станет основанием, то другой катет и гипотенуза были бы равны между собой по определению равнобедренного треугольника, как боковые стороны. Но это невозможно, значит, основание это всегда гипотенуза.

Медиана проведена к гипотенузе, а значит к основанию. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является одновременно медианой, биссектрисой и высотой. Значит у нас есть значение основании и высоты. Найдем площадь, как половину произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию

$$S= {1\over2}*2*8=8$$

С другой стороны, в прямоугольном треугольнике площадь равна половине произведения катетов, а они в равнобедренном треугольнике равны.

$$S={1\over2}*а*а={1\over2}*a^2$$

Приравняем значения площади и выразим катет:

$$8={1\over2}*а^2$$

$$a^2=16$$

$$a=4$$

Ответ найден. Как видно из двух задач, единственная проблема в нахождении сторон прямоугольного треугольника – это разобраться в условии.

Что мы узнали?

Мы разобрались с вопросом нахождения сторон прямоугольного треугольника. Поговорили о том, как называются стороны такого треугольника. Выделили формулы и теоремы, необходимые для решения прямоугольных треугольников.

Тест по теме

  1. Вопрос 1 из 5

    Как называется наибольшая из сторон треугольника?

Начать тест(новая вкладка)
Доска почёта
Чтобы попасть сюда - пройдите тест.

    Оценка статьи

    Средняя оценка: 4.3. Всего получено оценок: 61.

    Предметы