Образовака📐 Геометрия7 классТреугольники

Правильный треугольник

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 140.

Правильный треугольник имеет много специфических свойств, которые значительно упрощают решение задач. Поэтому имеет смысл поговорить о каждом из этих свойств, дабы облегчить решение задач.

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.

Опыт работы учителем математики - более 33 лет.

Определение

Правильный треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны и каждый угол равен 60 градусам. Правильный треугольник еще называют равносторонним. О формулах правильного треугольника, и о том, как производить по ним различные вычисления – поговорим ниже.

Формулы правильного треугольника

Почти все формулы вытекают из утверждения о том, что правильный треугольник имеет 3 угла по 60 градусов и 3 одинаковые стороны.

Площадь

Начнем с формулы площади.

Равносторонний треугольник любой высотой делится на два, равных между собой прямоугольных треугольника. Теперь найдем значение высоты, подставим его в классическую формулу площади треугольника и получим формулу для нахождения площади правильного треугольника.

В прямоугольном треугольнике АВМ катет ВМ можно выразить через синус угла ВАМ. Этот угол известен и равен 60 градусам, значит, известны и значения синуса и косинуса для этого угла. Катет ВМ противолежащий, значит, для его нахождения необходимо воспользоваться формулой синуса.

$$Sin(ВАM)={ВM\over AB}$$

С другой стороны синус 60 градусов заранее известнее и равен $\sqrt{3} \over 2$ . Значит можно выразить значение АМ:

$$ВМ=АВ*sin(ВАM)=AB* {\sqrt{3}\over 2}$$

Все стороны треугольника между собой равны, поэтому для удобства обозначим их через букву а.

AB=AC=BC=a

Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

$$ВМ=а*{\sqrt{3}\over2}$$

Теперь вспомним классическую формулу площади треугольника:

$S= {1\over2}h*a$, где а это основание треугольника, h – высота, проведенная к этому основанию. В заданном треугольнике это будет выглядеть следующим образом:

$$S={1\over2}*АC*ВM={1\over2}*a*a*{\sqrt{3}\over2}=a^2*{\sqrt{3}\over4}$$

Получившаяся формула гораздо проще классических в плане количества необходимых параметров. Для нахождения площади правильного треугольника необходимо знать только значение одной из его сторон. Это возможно за счет равенства углов в таком треугольнике.

Только в правильном треугольнике возможно нахождение площади через значение одной стороны.

Периметр

Периметр найти ещё проще, так как это сумма всех сторон треугольника, а они все равны между собой, то:

Р=3а

Подобный подход, где приравниваются стороны или используются свойства медиан и биссектрис равностороннего треугольника, часто используется при решении подобных задач. У правильного треугольника нет и не может объема, так как это плоская фигура. У нее два характеризующих понятия: площадь и периметр.

В равностороннем треугольнике каждая биссектриса совпадает с медианой и высотой. Также совпадают и точки пересечения этих отрезков. Получившаяся точка зовется центром фигуры.

Основные формулы правильного треугольника url= — Рис. 3. Основные формулы правильного треугольника.

Что мы узнали?

Из статьи мы узнали, что у правильного треугольника все стороны и углы равны между собой. Мы узнали о свойствах биссектрисы, медианы и высоты – в правильном треугольнике это будет одна и та же линия. Ее можно проводить от любой вершины.