Площадь правильного треугольника

Правильные треугольники – это особое явление в геометрии. Все углы треугольника абсолютно точно определены значением в 60 градусов. Из-за этого, помимо обычных для треугольников способов нахождения площади, существуют и способы нахождения именно площади правильного треугольника, не характерные для других фигур. Все способы будут рассмотрены в этой статье.

Формулы для нахождения площади треугольника.

  • Первая формула площади правильного треугольника стандартна. Площадь равна половине произведения основания на высоту: $S= {1\over2}h*a$.
  • Существует формула нахождения площади через сторону, которая проистекает из первой, но характерна только для правильных треугольников. В правильном треугольнике АВС проведем высоту АМ, которая будет являться так же медианой и биссектрисой.

Это свойство характерно для равнобедренных треугольников, но любой правильный треугольник и будет равнобедренным, просто любая из его сторон может считаться основанием, так как две другие стороны в любом случае будут равны.

Правильный треугольник

Рис. 1. Правильный треугольник.

В результате треугольник делиться на два, равных между собой прямоугольных треугольника. Теперь найдем значение высоты, подставим его в классическую формулу площади треугольника и получим формулу для правильного треугольника.

Рисунок к доказательству

Рис. 2. Рисунок к доказательству.

В прямоугольном треугольнике АВМ катет АМ можно выразить через синус угла АВМ. Этот угол известен и равен 60 градусам, значит, известны и значения синуса и косинуса для этого угла. Катет АМ противолежащий, значит, для его нахождения необходимо воспользоваться формулой синуса.

$$Sin(ABM)={AM\over AB}$$

С другой стороны синус 60 градусов заранее известнее и равен $$\sqrt{3} \over 2$$ . Значит можно выразить значение АМ:

$$АМ=АВ*sin(ABM)=AB* {\sqrt{3}\over 2}$$

Все стороны треугольника между собой равны, поэтому для удобства обозначим их через букву а.

AB=AC=BC=a

Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

$$АМ=а*{\sqrt{3}\over2}$$

Теперь вспомним классическую формулу площади треугольника:

$S= {1\over2}h*a$, где а это основание треугольника, h – высота, проведенная к этому основанию. В заданном треугольнике это будет выглядеть следующим образом:

$$S={1\over2}*BC*AM={1\over2}*a*a*{\sqrt{3}\over2}=a^2*{\sqrt{3}\over4}$$

ВС заменили на а, так как все стороны равны между собой, а значение высоты мы находили ранее. Получившаяся формула гораздо проще классических в плане количества необходимых параметров. Для нахождения площади правильного треугольника необходимо знать только значение одной из его сторон. Это возможно за счет равенства углов в таком треугольнике.

Только в правильном треугольнике возможно нахождение площади полной поверхности через сторону.

По той же причине нельзя использовать эту формулу для равнобедренного или произвольного треугольника. Прежде чем использовать эту формулу необходимо доказать, что треугольник правильный или убедиться, что это условие прописано в исходных данных задачи.

Произвольный треугольник

Рис. 3. Произвольный треугольник.

Что мы узнали?

Мы узнали, как можно найти площадь правильного треугольника по стороне, разобрались как эту формулу можно просто и быстро вывести. Запомнив ход вывода можно пользоваться этим в дальнейшем, не запоминая точных значений, а просто проверяя себя, выводя формулу в черновике.

Тест по теме

  1. Вопрос 1 из 5

    Какой треугольник называется правильным

Начать тест(новая вкладка)

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.4. Всего получено оценок: 165.

Предметы