Площадь равностороннего треугольника

Многоугольник, который имеет три вершины и три стороны, называется треугольником. Треугольник называется равносторонним или правильным, если все его три стороны одинаковые, а все три угла равны 60°. О методах вычисления площади равностороннего треугольника поговорим в этой статье.

Определение

Правильным треугольником называют часть плоскости, ограниченную тремя одинаковыми отрезками. Их соединяют точки, которые не принадлежат одной прямой. Здесь все три угла одинаковые и равняются по 60 градусов. Поэтому для определения площади правильного треугольника можно будет пользоваться упрощенными формулами.

Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.

Значение площади правильного треугольника вычисляется путем подстановки параметров фигуры в классическую формулу.

Рис. 1. Правильный треугольник.

Нахождение площади правильного треугольника

  • Первая формула площади правильного треугольника стандартна. Площадь равна половине произведения основания на высоту: $S= {1\over2}h*a$.
  • Существует формула нахождения площади через сторону, которая проистекает из первой, но характерна только для правильных треугольников. В правильном треугольнике АВС проведем высоту АМ, которая будет являться так же медианой и биссектрисой.

Это свойство характерно для равнобедренных треугольников, но любой правильный треугольник и будет равнобедренным, просто любая из его сторон может считаться основанием, так как две другие стороны в любом случае будут равны.

В результате треугольник делиться на два, равных между собой прямоугольных треугольника. Теперь найдем значение высоты, подставим его в классическую формулу площади треугольника и получим формулу для правильного треугольника.

Рис. 2. Рисунок к доказательству.

В прямоугольном треугольнике АВМ катет АМ можно выразить через синус угла АВМ. Этот угол известен и равен 60 градусам, значит, известны и значения синуса и косинуса для этого угла. Катет АМ противолежащий, значит, для его нахождения необходимо воспользоваться формулой синуса.

$$Sin(ABM)={AM\over AB}$$

С другой стороны синус 60 градусов заранее известнее и равен $$\sqrt{3} \over 2$$ . Значит, можно выразить значение АМ:

$$АМ=АВ*sin(ABM)=AB* {\sqrt{3}\over 2}$$

Все стороны треугольника между собой равны, поэтому для удобства обозначим их через букву а.

AB=AC=BC=a

Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

$$АМ=а*{\sqrt{3}\over2}$$

Теперь вспомним классическую формулу площади треугольника:

$S= {1\over2}h*a$, где а это основание треугольника, h – высота, проведенная к этому основанию. Формула площади равностороннего треугольника будет выглядеть следующим образом:

$$S={1\over2}*BC*AM={1\over2}*a*a*{\sqrt{3}\over2}=a^2*{\sqrt{3}\over4}$$

ВС заменили на а, так как все стороны равны между собой, а значение высоты мы находили ранее. Получившаяся формула гораздо проще классических в плане количества необходимых параметров. Для нахождения площади правильного треугольника необходимо знать только значение одной из его сторон. Это возможно за счет равенства углов в таком треугольнике.

Только в правильном треугольнике возможно нахождение площади через сторону.

По той же причине нельзя использовать эту формулу для равнобедренного или произвольного треугольника. Прежде чем использовать эту формулу необходимо доказать, что треугольник правильный или убедиться, что это условие прописано в исходных данных задачи.

Рис. 3. Произвольный треугольник.

Что мы узнали?

Площадь правильного треугольника можно вычислить через сторону, поскольку речь идет о фигуре с одинаковыми параметрами, или через высоту по классической формуле. Здесь углы также будут одинаковыми. При решении некоторых задач по геометрии стоит помнить о том, что высоты данной плоской фигуры, ограниченной тремя сторонами, равны между собой.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.2. Всего получено оценок: 162.

Предметы