Средняя линия прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник стоит особняком от остальных треугольников. Прямой угол делает возможным применение других признаков равенства и подобия, для углов в прямоугольном треугольнике можно без дополнительных построений использовать геометрические тождества, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора. Но среднюю линию прямоугольного треугольника определить трудно просто потому, что она редко упоминается в задачах, из-за чего мало кто может себе её визуально представить.

Что такое средняя линия прямоугольного треугольника?

Средняя линия – это отрезок, соединяющий середины сторон в треугольнике. В любом треугольнике можно провести три средних линии. При этом этот отрезок будет равен половине основания – это и считается формулой средней линии прямоугольного треугольника. Основанием считается сторона, с которой средняя линия не пересекается.



Средняя линия в треугольнике отсекает треугольник, подобный большому треугольнику, при этом площадь малого треугольника будет равна ¼ от площади большого, а коэффициент подобия будет равняться ½


Если в треугольнике провести все 3 средних линии, то образуется 4 равных между собой треугольника, которые при этом подобны большому треугольнику с теми же отношениями.

Причем, если средняя линия проводится в прямоугольном треугольнике, то каждый из четырех получившихся треугольников будет являться прямоугольным.

Все эти свойства можно использовать в ряде задач, что позволяет создавать интересные уникальные решения и доказательства.

Задача 1

В прямоугольном треугольнике АВС проведены три средние линии :MN; NP; MP. При этом MN=NP=2.

Рис. 1. Рисунок к задаче

В центре треугольника средними линиями образован малый прямоугольный треугольник, катеты которого известны. Тогда его площадь равна: $S={1\over{2}}*MN*NP={1\over{2}}*2*2=2$.

Так как все 4 малых треугольника равны, то площадь большого будет равна: $S=4*2=8$

Задача 2

В прямоугольном треугольнике АВС проведены три средние линии: MN; NP; MP. В получившемся прямоугольнике MNPA известно, что синус угла между диагоналями равен 0,5. А средние линии MN и NP равны 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.

Рис. 2. Рисунок к задаче

В прямоугольнике две диагонали между собой равны. Одна из диагоналей MP это гипотенуза прямоугольного треугольника MNP. Катеты треугольника известны, значит можно найти гипотенузу через теорему Пифагора.

$$MP=\sqrt{MN^2+NP^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Найдем площадь прямоугольника, как произведение диагоналей на синус угла между ними.

$$S=5*5*0,5=12,5$$

В большом треугольнике 4 малых, а в прямоугольнике 2 малых треугольника. Все малые треугольники между собой равны, значит, чтобы найти площадь прямоугольного треугольнику, нужно умножить площадь прямоугольника на 2.

$S=12,5*2=25$ – ответ получен.

Задача 3

В прямоугольном треугольнике АВС проведены три средние линии: MN; NP; MP. Найти площадь прямоугольника MNPA, если известно, что площадь АВС равна 36.

Рис. 3. Рисунок к задаче

Аналогично с предыдущей задачей, можно вывести утверждение, что площадь треугольника равна двум площадям малого прямоугольника. Подставим в выражение цифры и выразим неизвестное. Площадь треугольника обозначим за S, прямоугольника s.

$$S=2S$$

$$S={S\over2}={36\over2}=18$$

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое средняя линия, поговорили о свойствах средней линии и выделили особенности средней линии в прямоугольном треугольнике. Также мы закрепили пройденный материал, подробно изучив алгоритм решения задач на заданную тему.

Тест по теме

  1. Вопрос 1 из 5

    Сколько малых треугольников образуется, если провести в треугольнике 3 средние линии?

Начать тест(новая вкладка)
Доска почёта
Чтобы попасть сюда - пройдите тест.
    
  • Светлана Колесникова
    5/5

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.2. Всего получено оценок: 212.

Предметы