Образовака📐 Геометрия7 классТреугольники

Средняя линия прямоугольного треугольника

4.4

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 228.

Средняя линия прямоугольного треугольника – это прекрасная возможность для составителей задач. Большая часть обучающихся знают, что такое средняя линия и умело используют ее свойства в решении. Но как только этот отрезок появляется на чертеже прямоугольного треугольника, то сразу впадают в ступор из-за некоторой необычности рисунка, поэтому разберемся в теме подробнее.

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.

Опыт работы учителем математики - более 33 лет.

Что такое прямоугольный треугольник?

В общем случае, треугольник это фигура, состоящая из трех сторон и трех углов. В зависимости от величин углов, входящих в состав треугольника выделяют:

Остроугольные треугольники, все углы которых меньше 90 градусов.
Тупоугольные треугольники, один из углов которых больше 90 градусов.
Прямоугольные треугольники, один из углов которых равен 90 градусам.

Прямоугольные треугольники интересны специальными формулами, которые значительно упрощают решение. Но средняя линия прямоугольного треугольника ни чем не отличается от средней линии произвольного. Почему задачи с этим отрезком вызывают затруднения?

Только из-за необычности чертежа

Рис. 1. Средние линии прямоугольного треугольника.

Средняя линия

Что такое средняя линия? Это один из характеризующих отрезков любого треугольника. Средняя линия соединяет середины смежных сторон многоугольника.

Средняя линия есть не только у треугольника. Она существует у каждой выпуклой фигуры. При этом свойства средних линий треугольников не всегда совпадают с свойствами средних линий трапеций. Поэтому будьте аккуратны, у каждой фигуры есть свои свойства и признаки.

Свойства средней линии

Свойств у средней линии не так много, но все они более чем интересны.

Средняя линия всегда параллельна стороне, через которую она не проходит. Иначе говорят, что средняя линия параллельна основанию. Так проще запомнить это свойство, но немного страдает формулировка. Дело в том, что в любом треугольнике можно провести 3 средних линии, а основание только одно, поэтому будьте аккуратнее в формулировках.
Средняя линия равна половине основания. А вернее не основания, а стороны, которую средняя линия не пересекает. Это и есть формула средней линии любого треугольника, в том числе и прямоугольного.
Средняя линия отсекает треугольник подобный изначальному с коэффициентом подобия 1:2

Если формулировка «Средняя линия параллельна основанию» не совсем правильная, то почему же ее применяют в учебнике? Дело в том, что любое свойство должно быть коротким и ясным для простоты запоминания. Поэтому и сокращают некоторые высказывания. А основанием произвольного треугольника можно считать любую сторону, а значит неправильной формулировку назвать нельзя.

Задача

В прямоугольном треугольнике АВС проведены три средние линии: MN; NP; MP. В получившемся прямоугольнике MNPA известно, что синус угла между диагоналями равен 0,5. А средние линии MN и NP равны 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.

В прямоугольнике две диагонали между собой равны. Одна из диагоналей MP это гипотенуза прямоугольного треугольника MNP. Катеты треугольника известны, значит можно найти гипотенузу через теорему Пифагора.

$$MP=\sqrt{MN^2+NP^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

Найдем площадь прямоугольника, как произведение диагоналей на синус угла между ними.

$$S=5*5*0,5=12,5$$

В большом треугольнике 4 малых, а в прямоугольнике 2 малых треугольника. Все малые треугольники между собой равны, значит, чтобы найти площадь прямоугольного треугольнику, нужно умножить площадь прямоугольника на 2.

$S=12,5*2=25$ – ответ получен.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое средняя линия прямоугольного треугольника. Поговорили о свойствах средней линии и решили небольшую задачу для закрепления материала.