Образовака💯 Математика5 классСложение и вычитание натуральных чисел

Длина прямоугольника

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 94.

В этой статье мы поговорим о длине прямоугольника. Как определить, какая из сторон является длиной и зачем их разделять. Разберем три способа нахождения длины прямоугольника и решим небольшую задачу.

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.

Опыт работы учителем математики - более 33 лет.

Что такое длина прямоугольника

Довольно часто люди путают местами длину и ширину прямоугольника, как правило, это не критично, но в результате значительно уменьшается наглядность, а от этого страдает качество решения.

Прямоугольник это частный случай параллелограмма. Параллелограмм, каждый угол которого равен 90 градусам, называется прямоугольником. Для наглядного изображения лучше будет, если нижней опорой прямоугольника будет служить длина. Так сложилось, что такой рисунок больше всего напоминает рисунки в учебнике, а потому ученику будет проще разобраться в теме.

Три способа найти длину прямоугольника

Если разделить фигуру на две части диагональю, то можно заметить, что прямоугольник поделится ею на два прямоугольных треугольника. Из этого разделения и вытекают все формулы длины прямоугольника.

Через теорему Пифагора

Если известна длина диагонали (обозначим ее буквой d) и длина прямоугольника (примем значение за букву a). Тогда корень квадратный из разности квадратов диагонали и длины будет равен ширине прямоугольника.

Чтобы было понятнее, напишем решение в виде нескольких формул.

Согласно теореме Пифагора – квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенуза – это сторона, противоположная прямому углу, две другие стороны зовутся катетами. В нашем случае гипотенуза это диагональ.

Значит: d²=a²+b². Из этого выражения выразим квадрат ширины (значение «b»):b²=d²-a²

Для того, чтобы определить значение b, нужно взять корень квадратный из обеих сторон получившегося выражения: b=(d²-a²)^(-1)

В случае необходимости, можно поменять местами а и b, тогда получится формула длины.

Через площадь

Рассмотрим еще один способ найти длину прямоугольника – через площадь.Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины. То есть, используя уже знакомые обозначения S=a*b. Выразим из этой формулы значение ширины: b=S/b.

Так же, как и в первом методе, можно поменять местами а и b, чтобы получить формулу для длины: a=S/b.

Тригонометрическая функция

Один из самых быстрых, но при этом немного сложных способов нахождения длины – воспользоваться тригонометрической функцией.

Если имеется прямоугольный треугольник, то соответственно имеются отношения, известные как синус и косинус.

Выберем угол между длиной и диагональю. Обозначим его α. Тогда sin α равен отношению катета, противоположного углу α к гипотенузе: Sin α = a/c

Рис. 2. Угол альфа на половине прямоугольника

Значение синуса любого угла можно найти в таблицах Брадиса или с помощью калькулятора. Для удобства можно воспользоваться онлайн-версией, которая найдет значение отношения автоматически.

Но в формуле нет значения b, которое соответствует длине, а, значит, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством. Косинус – это отношение стороны, прилежащей к углу, к гипотенузе: cos a=b/c

Значит можно найти длину, умножив косинус на гипотенузу: b=cos α*c

Задача

Найти длину прямоугольника, если известно, что его ширина равна 3, а диагональ 5.
Воспользуемся теоремой Пифагора и найдем b. Длина равна корню квадратному из разности квадрата диагонали и квадрата ширины.

5^2=25

3^2=9

25-9=16

Корень квадратный из 16 равен 4.

Значение b=4

Что мы узнали?

Мы рассмотрели, как правильно изображать прямоугольник для большей наглядности, рассмотрели как можно найти длину или ширину при различных условиях задачи и решили задачу средней сложности на нахождение длины прямоугольника через теорему Пифагора.