Признаки равенства прямоугольных треугольников

Прямоугольные треугольники наравне с равнобедренными и равносторонними занимает свое место среди треугольников, обладая особым набором специфичных свойств, характерных только для этого вида треугольников. Рассмотрим несколько теорем о равенстве прямоугольных треугольников, которые существенно упростят решение некоторых задач.

Первый признак равенства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников проистекают из трех признаков равенства треугольников, но прямой угол искажает их, расширяет при этом делая проще. Любой из признаков равенства прямоугольных треугольников можно заменить одним из трех основных, но это будет занимать слишком много времени, поэтому были выделены 5 свойств и признаков равенства прямоугольных треугольников.

Очень часто вместо использования основных признаков равенства треугольников, используется метод наложения, когда две фигуры мысленно накладываются одна на другую. Нельзя сказать, что это верно или неверно. Просто еще один способ доказательства, который стоит учитывать. Но нельзя думать, что любой признак можно доказать обычным наложением. Именно поэтому рассмотрим доказательство признаков равенства прямоугольных треугольников через три основных признака равенства треугольников.

Первый признак равенства прямоугольных треугольников гласит: два прямоугольных треугольника равны, если два катета одного треугольника равны двум катетам другого треугольника. Коротко этот признак называют равенством по двум катетам.

Рис. 1. Равенство по двум катетам

Доказать этот признак очень просто. Дано: два катета прямоугольных треугольника равны. Между катетами находится прямой угол, который равен 90 градусам, а значит и угол у треугольников совпадает. Следовательно, два треугольника равны по двум сторонам и углу между ними.

Второй признак

Второй признак читается так: два прямоугольных треугольника равны, если катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему углу другого треугольника.

Второй признак доказывается исходя из того же утверждения о равенстве прямых углов между собой. Если у треугольников катеты равны, острые углы при них равны, а прямые углы равны по определению, то такие треугольники равны по второму признаку равенства (стороне и двум, прилежащим к ней углам).

Третий признак

Два прямоугольных треугольника равны, если равен катет и противолежащий острый угол.

Рис. 2. Рисунок к доказательству

Сумма острых углов в треугольнике равна 90 градусов. Обозначим углы малыми латинскими буквами для простоты доказательства. Один угол прямой, а два других обозначим буквами a и b в первом треугольнике; c и d во втором треугольнике.

$$a+b=c+d$$

Углы a и d равны между собой по условию задачи.

$$a=d$$

$$a+b=c+a$$

Вычтем из обеих сторон выражения угол a

$$b=c$$

То есть, если в двух прямоугольных треугольника два острых углы равны между собой, то и два других острых угла, также будут равны, и мы можем воспользоваться вторым признаком.

Во втором и третьем признаке нужно особенно акцентировать внимание на остром угле, так как прямые углы всегда равны между собой.

Четвертый признак

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Как было сказано в предыдущем признаке: если острый угол прямоугольного треугольника равен соответствующему острому углу другого прямоугольного треугольника, то и другая пара острых углов треугольников будет равна между собой.

Значит, по условиям этого признака мы имеем равенство гипотенузы и двух острых углов треугольников, а значит такие треугольники будут равны по стороне и двум прилежащим к ней углам ( 2 признак равенства треугольников)

Пятый признак

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если гипотенуза и катет у двух треугольников соответственно равны, то и вторые катеты таких треугольников буду равны между собой. Это проистекает из теоремы Пифагора.

Рис. 3. Равенство по катету и гипотенузе

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенузы равны между собой, катет одного треугольника равен квадрату другого треугольника, значит, чтобы сумма оставалась верной, и два других катета будут равны между собой.

Что мы узнали?

Мы рассмотрели доказательство пяти признаков равенства треугольников через основные признаки равенства треугольников. Разобрались, почему такое доказательство предпочтительнее наложения и определили путь доказательства, который позволит в любой момент восстановить основные понятия темы в памяти, без излишнего заучивания.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.6. Всего получено оценок: 92.

Предметы