Признаки прямоугольника

В этой статье мы поговорим о признаках прямоугольника. Выделим основные и рассмотри каждый в отдельности.

Определения

Основная часть доказательств основывается на том, что в четырехугольнике сумма углов равна 360 градусам.

Всего насчитывается 7 признаков прямоугольника. Для того, чтобы их применять нужно, прежде всего, вспомнить определения:

Прямоугольник это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Параллелограмм это выпуклый четырехугольник, у которого все стороны попарно равны и параллельны.

Для того, чтобы определить выпуклый четырехугольник или нет нужно последовательно проводить через каждую из сторон фигуры линию. Если в каждом из 4 случаев (поскольку сторон 4) вся фигура будет оставаться по одну сторону от линии, то четырехугольник выпуклый.

Признаки

Перед нами параллелограмм. Как доказать, что он является прямоугольником? Воспользоваться одним из признаков:

  • Параллелограмм является прямоугольником, если один из углов – прямой.

В параллелограмме противоположные углы равны. Значит, если один из углов – прямой, то противоположный ему угол так же прямой, а два оставшихся равны между собой. Сумма всех углов четырехугольника 360 градусов.

Два угла прямые, значит остается 360-90*2=180. Эта сумма двух равных углов, значит, каждый из оставшихся углов прямой: 180/2=90. Если все углы параллелограмма прямые, то это прямоугольник.

Этот признак работает только для параллелограммов. В случае с четырехугольниками прямой угол может быть и у прямоугольной трапеции.

Прямоугольная трапеция

Рис. 1. Прямоугольная трапеция.

  • Если вокруг параллелограмма можно описать окружность, то это прямоугольник.

Для того, чтобы вокруг четырехугольника описать окружность, необходимо, чтобы противоположные углы в сумме давали 180 градусов. Противоположные углы в параллелограмме равны, значит 180/2=90 градусов составляет каждый угол. Значит это прямоугольник.

Рис. 2. Прямоугольник, вписанный в окружность.

  • Если в четырехугольнике все углы равны, то он является прямоугольником. Для этого признака необязательно убеждаться, что перед вами параллелограмм. В любом четырехугольнике сумма углов равна 360. Если все углы равны, то 360/4=90 градусов составляет каждый из углов. Вот и получается, что в любом случае это прямоугольник.
  • Если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник. Для доказательства нужно провести две диагонали и рассмотреть получившиеся треугольники. Треугольники АВD и АСD равны по трем сторонам. Основание у них общее, диагонали равны, а третья сторона это две противоположные стороны параллелограмма, которые так же равны между собой. Равны треугольники, значит, равны и их части: смежные углы параллелограмма равны, значит, все углы параллелограмма равны между собой. Перед нами прямоугольник.

Рис. 3. Рисунок к доказательству.

  • Если в четырехугольнике три угла прямые, то он является прямоугольником. Если посчитать, то четвертый угол в таком случае будет равен: 360-90*3=90, то есть и четвертый угол будет прямым.
  • Если квадрат диагонали равен сумме квадратов двух смежных сторон. В этом случае диагональ является гипотенузой, а стороны катетами прямоугольного треугольника по теореме, обратной теореме Пифагора (это один из признаков прямоугольного треугольника).

Это существенные признаки прямоугольников. Существуют так же дополнительные, которые сводятся к уже перечисленным. И главное, помните, что в математике важны определения. Признаки прямоугольного прямоугольника – неправильная формулировка. Прямоугольник всегда был, есть и будет прямоугольным.

Что мы узнали?

Мы разобрались как можно доказать, что параллелограмм или четырехугольник является параллелограммом, вспомнили некоторые определения и ознакомились с ведущим методом определения прямоугольника – по углам.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.6. Всего получено оценок: 41.

Предметы