Образовака💯 Математика5 классСложение и вычитание натуральных чисел

Гипотенуза треугольника

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 169.

Прямоугольный треугольник содержит в себе огромное множество зависимостей. Это делает его привлекательным объектом для разного рода геометрических задач. Одной из наиболее часто встречающихся задач считается нахождение гипотенузы.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – это треугольник, который содержит в себе прямой угол, т.е. угол в 90 градусов. Только в прямоугольном треугольнике можно выразить тригонометрические функции через величины сторон. В произвольном треугольнике придется производить дополнительные построения.
В прямоугольном треугольнике две из трех высот совпадают со сторонами зовутся катетами. Третья сторона зовется гипотенузой. Высота, проведенная к гипотенузе единственная в этом виде треугольника, требующая дополнительных построений.

В прямоугольном треугольнике не может быть тупых углов. Так же, как невозможно и существование второго прямого угла. В этом случае нарушается тождество суммы углов треугольника, которая всегда равна 180 градусам.

Гипотенуза

Перейдем непосредственно к гипотенузе треугольника. Гипотенуза – это наибольшая сторона треугольника. Гипотенуза всегда больше любого из катетов, но при этом всегда меньше суммы катетов. Это следствие из теоремы неравенства треугольника.

Теорема гласит: в треугольнике ни одна из сторон не может больше суммы двух других. Существует и вторая формулировка или вторая часть теоремы: в треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол и наоборот.

В прямоугольном треугольнике большим углом является прямой угол, так как второго прямого угла или тупого угла быть не может по уже названным причинам. Значит напротив прямого угла всегда лежит большая сторона.

Кажется непонятным, почему именно прямоугольный треугольник заслужил отдельное наименование каждой из сторон. На самом деле, в равнобедренном треугольнике стороны так же носят свои названия: боковые стороны и основание. Но именно за катеты и гипотенузы учителя особенно любят ставить двойки. Почему? С одной стороны это дань памяти древним грекам, изобретателям математики. Именно они изучали прямоугольные треугольники и наряду с этими знаниями оставили целый пласт информации, на котором строится современная наука. С другой же стороны существование этих названий значительно упрощает формулировки теорем и тригонометрических тождеств.

Теорема Пифагора

Если учитель спрашивает о формуле гипотенузы прямоугольного треугольника, значит, с вероятностью 90 %, он имеет в виду теорему Пифагора. Теорема гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен суммы квадратов катетов.

Рис. 3. Гипотенуза прямоугольного треугольника.

Обратите внимание, как четко и емко формулируется теорема. Подобной простоты невозможно достигнуть без использования понятий гипотенузы и катета.

Теорема имеет следующую формулу:

$c^2=b^2+a^2$ – где с – гипотенуза, a и b – катеты прямоугольного треугольника.

Что мы узнали?

Мы поговорили о том, что такое прямоугольный треугольник. Узнали, зачем вообще придумали названия катетов и гипотенузы. Выяснили некоторые свойства гипотенузы и привели формулу длины гипотенузы треугольника через теорему Пифагора.