Образовака💯 Математика6 классРациональные числа

Сравнение чисел

4.4

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 901.

В реальной жизни часто нужно производить сравнение чисел. Сравнивать положительные числа все умеют с детства. В данной статье подробно рассказывается, как сравнить любые два числа, в том числе имеющие разные знаки.

Какое число больше

Проведем координатную ось: отметим на прямой точку начала координат (число 0), выберем масштабную единицу и направление.

Рассмотрим два числа a и b. Изобразим на координатной оси точки, соответствующие в выбранном масштабе данным числам.

Из двух чисел большим будет то, которое расположено правее на координатной оси.

Пример

Рассмотрим числа -1 и 2 и соответствующие им точки на координатной оси.

Поскольку число 2 на координатной оси лежит правее числа -1, оно является большим из этих двух чисел.

Обозначение: 2 > -1.

Положительные и отрицательные числа

Все числа, которые на координатной оси лежат правее нуля, называются положительными.

Все числа, которые на координатной оси лежат левее нуля, называются отрицательными.

Число нуль не является ни положительным, ни отрицательным, а его название в переводе с латинского означает «никакой». Впервые нуль как число начали использовать в Индии. А древние римляне, китайцы и греки обходились без него. А в древнем Египте, хотя и не использовали нуль, но обозначали его иероглифом, который означал «прекрасный».

Понятие отрицательного числа ввели китайские математики. Положительные числа они обозначали палочками красного цвета, а отрицательные – палочками черного цвета. Необходимость ввести отрицательные числа возникла при проведении финансовых расчетов. Они использовались при подсчете долгов.

Методика сравнения двух чисел

Рассмотрим возможные случаи сравнения двух чисел. Обозначим их, как a и b.

1) Пусть одно из чисел (a) является положительным, а другое (b) – отрицательным. Тогда бОльшим будет положительное число: a > b.

Таким образом, любое положительное число больше любого отрицательного.

Пример

Сравним числа 5 и -7. Имеем: 5 > -7.

2) Из двух отрицательных чисел меньшим будет то число, модуль которого больше.

Пример

Сравним числа -5 и -7.

Модуль числа -5 равен 5, а модуль числа -7 равен 7. Поскольку 7 > 5, -7 < -5.

Имеем: -5 > -7.

3) Любое положительное число больше 0, а любое отрицательное число меньше 0.

Пример

Рассмотрим числа 3 и -2. Имеем: 3 > 0, -2 < 0.

Неотрицательные и неположительные числа

Все положительные числа и нуль называются неотрицательными.

Все отрицательные числа и нуль называются неположительными.

Пример

Изобразим на координатной оси отрезок, начало которого лежит в точке -2, а конец – в точке 3.

Будем рассматривать целые числа внутри данного отрезка. Из них:

положительные числа 1, 2, 3;
неотрицательные числа 0, 1, 2, 3;
отрицательные числа -2, -1;
неположительные числа -2, -1, 0.

Сравнение дробей

Чтобы сравнить две дроби одного знака, нужно привести их к общему знаменателю.

Пример

Сравним числа ${2 \over 3} и {5 \over 9}$.

Приведем эти числа к общему знаменателю (9): ${2 \over 3} = {6 \over 9}$.

Поскольку ${6 \over 9} > {5 \over 9},$ имеем: ${2 \over 3} > {5 \over 9}$.

Двойные неравенства

Пусть для числа a одновременно выполняется два неравенства: a > 6 и a < 10. Тогда можно написать двойное неравенство

6 < a < 10 .

Что мы узнали?

Мы ввели правило сравнения двух чисел с помощью точек на координатной оси. Также мы рассмотрели определения отрицательного, положительного, неотрицательного и неположительного числа. Затем мы рассмотрели все возможные случаи сравнения чисел с учетом их знака.