Уравнение вращательного движения

Частым видом движения в Природе и технике является вращательное движение. Такое движение имеет ряд отличий от поступательного, поэтому его кинематическое описание также имеет заметные отличия. Познакомимся с уравнением вращательного движения твердого тела.

Параметры вращательного движения

При поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям. Для вращательного движения это не так.

Рис. 1. Примеры вращательного движения тел.

При вращательном движении траектории точек тела являются окружностями с центрами, лежащими на одной прямой, называемой осью вращения. Поскольку все эти окружности имеют различные радиусы, то при вращательном движении заменить тело одной материальной точкой, и описывать вращение для этой одной точки, нельзя. При описании линейных мгновенных параметров (скорости и ускорения) необходимо учитывать радиус вращения $R$.

Но, несмотря на то, что траектории и линейные мгновенные параметры различных точек различны, при вращательном движении все точки тела за один и тот же промежуток времени поворачиваются на один и тот же угол $\alpha$. Поэтому гораздо удобнее измерять не перемещение, а угол поворота тела относительно какого-то начального положения. Все производные параметры – скорость $\omega$ и ускорение $\varepsilon$ – получаются также угловыми. В результате появляется возможность описания всего тела в целом, как единого. И лишь при необходимости переходить от угловых параметров к линейным параметрам конкретных точек.

Кинематическое уравнение вращения

Заменив линейные параметры угловыми, можно получить основное уравнение вращательного движения:

Поступательное движение:

$$x=x_0+v_0t+{at^2\over2}$$

$$v=v_0+at$$

Вращательное движение:

$$\alpha=\alpha_0+\omega_0t+{\varepsilon t^2\over2}$$

$$\omega=\omega_0+\varepsilon t$$

Можно отметить полную аналогию формул, разница только в том, что для поступательного движения все параметры линейны, а для вращательного – угловые.

Аналогия кинематических уравнений для поступательного и вращательного движения

Рис. 2. Аналогия кинематических уравнений для поступательного и вращательного движения.

Также существенная разница в том, что для вращательного движения траектория точек тела фиксирована, а поэтому значения в формуле скалярны. Фактически, параметры в формулах вращения представляют собой аналог проекций векторов в формулах поступательного движения.

Линейные и угловые величины

При решении задач нередко возникает вопрос перехода от угловых параметров к линейным. Например, при запуске искусственного спутника Земли необходимо учитывать линейную скорость точек ее поверхности. В зависимости от направления запуска, эта скорость добавляется или вычитается к скорости, приобретенной во время разгона.

Поскольку угол поворота измеряется в радианах, а один радиан – это дуга длиной в один радиус, то при повороте на $\alpha$ радиан точка проделает линейный путь в $S = \alpha R$. При угловой скорости $\omega$ и угловом ускорении $\varepsilon$ линейные скорость и ускорение соответственно составят $v = \omega R$ и $a = \varepsilon R$.

Кроме того, следует помнить, что даже при равномерном вращательном движении (когда $\varepsilon = 0 $ ) всегда присутствует центростремительное ускорение, не влияющее на модуль вектора мгновенной скорости, но постоянно изменяющее его направление:

$$a_ц = \omega_2 R = {v^2\over R}$$

Вектор центростремительного ускорения

Рис. 3. Вектор центростремительного ускорения.

Что мы узнали?

Кинематические уравнения вращательного движения аналогичны кинематическим уравнениям поступательного движения, но все величины в них не линейные, а угловые. Угловые величины прямо пропорциональны линейным, коэффициентом пропорциональности является значение радиуса вращения.

Тест по теме

  1. Вопрос 1 из 5

    При вращательном движении траектории точек тела являются…

Начать тест(новая вкладка)
Доска почёта
Чтобы попасть сюда - пройдите тест.
    Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка доклада

Средняя оценка: 4.2. Всего получено оценок: 60.

Предметы