Относительность механического движения

Наряду с законами Ньютона тема относительности движения является одной из важнейших в курсе классической физики. Инвариантность законов механики позволяет произвольно выбирать инерциальную систему отсчета, что упрощает решение многих задач, особенно задач на вращение тел.

Движение относительно

Основные задачи классической механики связаны с инерциальными системами отсчета, то есть такими, в которых материальная точка в отсутствии внешних воздействий находится в покое или ее движение равномерное и прямолинейное.

Человек, присевший на лавочку, находится в покое в системе координат, связанной с домой. Но в другой системе координат придется учитывать вращение земли, тогда человек будет двигаться с ускорением, направленным к центру вращения. Так работает относительность механического движения.

Принцип относительности

Галилей задал следующий вопрос: буду ли разными законы механики при переходе между инерциальными системами координат? Ответим на него. Для этого введем две системы отсчета: неподвижную О(x, y, z) и О’(x’, y’, z’), которая движется вдоль оси Ох равномерно и прямолинейно со скоростью υ.

Галилей

Рис. 1. Галилей.

Вектор ОО’ соединяет начало обеих систем координат. В О (x, y, z) положение точки определяется r, в О’ (x’, y’, z’) – радиус-вектором r’.

$\vec{r}={\vec{OO’} \ + \vec{r’}}$ – связь координат точки в разных система отсчета.

Но поскольку $\vec{OO’}={\vec{v}t }$, то:

$$\vec{r}={\vec{r’} \ + \vec{v}t}$$ (1)

Совмещенные системы координат О и О’

Рис. 2. Совмещенные системы координат О и О’.

Производная функции по переменной – это скорость изменения функции. Операция взятия производной называется дифференцированием.

Таким образом, производная функции r по переменной t есть скорость движения материальной точки, то есть быстрота изменения координаты точки. Продифференцировав (1), получаем:

$\vec{V}={\vec{v’} \ + \vec{v}}$ (2) – закон, по которому производится сложение скоростей.

Суммирование векторных величин выполняется по правилу треугольника или параллелограмма.

Производная скорости по времени – это ускорение. В случае, если движение не равноускоренное, производная скорость равна нуля, что ясно из определения – изменения функции нет, он постоянна. Тогда из (2) получаем:

$\vec{а}=\vec{а’}$, а значит и $\vec{F}=\vec{F’}$. Независимо от выбора между инерциальными системами отсчета законы механики будут одинаковым. В этом заключается принцип относительности Галилея. Он является частным случаем принципа относительности Эйнштейна, который говорит, что все законы, а не только законы механики, одинаковы в инерциальных системах отсчета.

Уравнение (1) можно расписать в проекциях:

$$\vec{x}={\vec{x’} \ + \vec{v}t}$$

$$\vec{y}=\vec{y’}$$

$$\vec{z}=\vec{z’}$$

К этим уравнениям обычно дописывают $\vec{t}=\vec{t’}$

Вместе эти четыре уравнения дают классическое преобразование координат Галилея для прямолинейного движения с постоянной скоростью одной системы отсчета относительно другой.

Задачи

  • Велосипедист движется вдоль трамвайных путей со скоростью υ1. На встречу ему проезжает товарный поезд. Время, в течение которого велосипедист наблюдал поезд, равно t. Длина поезда – L. С какой скоростью двигался поезд?

Решение первой задачи

Согласно закону сложения скоростей получаем:

$\vec{V}={\vec{v_1} \ + \vec{v}}$ – скорость сближения велосипедиста и поезда.

$\vec{r}={(\vec{v_1} \ + \vec{v})t}$ – расстояние, которое будет пройдено за t при скорости V. Приравняв к длине поезда, выразим скорость поезда:

$v=\frac{L}{t} – {v_1}$ – окончательный ответ.

  • Человеку необходимо переплыть на другую сторону реки по линии, строго перпендикулярной к берегу. Скорость течение – υ1, скорость движения человека – υ2. Под каким углом к перпендикуляру необходимо плыть?

Решение второй задачи

Составим прямоугольный треугольник на векторах υ1 и υ2, которые будут его катетами.

Задача про пловца и реку

Рис. 3. Задача про пловца и реку.

Из него найдем:

$sin \alpha=\frac{v_2}{v_1}$, тогда $\alpha=arcsin \frac{v_2}{v_1}$

Что мы узнали?

В ходе урока было выяснено, что всякое движение относительно, а законы механики инварианты, были выведены уравнение, связывающее координаты точки в разных системах координат, закон сложения скоростей и преобразования Галилея.

Тест по теме

  1. Вопрос 1 из 10

    Какой будет траектория точки на колесе автомобиля в системе отсчета, связанной с центром колеса? В системе отсчета, связанной с неподвижным сторонним объектом?

Начать тест(новая вкладка)
Доска почёта
Чтобы попасть сюда - пройдите тест.
    Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка доклада

Средняя оценка: 4.5. Всего получено оценок: 295.

Предметы