Кинематика вращательного движения

Кинематика – это раздел механики, науки о механических движениях тел. Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причины этих движений. Познакомимся с кинематикой вращательного движения.

Характеристики, описывающие вращение

Любое механическое движение может быть представлено суммой нескольких поступательных и вращательных движений. Основным отличием поступательного и вращательного движений является то, что при поступательном движении траектории всех точек тела представляют собой одинаковые фигуры, а при вращательном движении – это окружности различных радиусов, с центрами, расположенными на одной прямой.

Примеры вращательного движения тел

Рис. 1. Примеры вращательного движения тел.

Поэтому кинематические характеристики вращательного движения, хотя и аналогичны кинематическим характеристикам поступательного движения, тем не менее, имеют заметные отличия.

Поскольку при поступательном движении все точки тела движутся одинаково – движение описывается только для одной точки, остальные движутся точно так же. Но что делать, если все точки движутся по-разному ?

Выход из ситуации лежит в нахождении общих параметров движения различных точек, и описание движения с помощью этих параметров. Несмотря на то, что при вращении точки твердого тела движутся по различным траекториям, эти траектории не только являются окружностями с центрами, лежащими на одной прямой, но и при движении по ним точки за равные промежутки времени описывают дуги одинакового угла. Таким образом, если связать движение с углом поворота, можно будет описывать вращения всех точек тела сразу.

То есть, для перехода от описания поступательного движения к вращательному, можно сделать замену характеристик:

  • перемещение $x(м)$ заменить на угол $\alpha (рад)$;
  • скорость $v(м/с)$ заменить на угловую скорость $\omega (рад/с)$;
  • ускорение $a(м/с^2)$ заменить на угловое ускорение $\varepsilon (рад/с^2)$.

Все расчеты вращательного движения производятся для угловых величин, и уже потом, зная угловые характеристики, при необходимости можно найти мгновенные линейные параметры.

Формулы кинематики для вращения

Получим кинематические формулы вращательного движения, произведя описанную замену. Формулы для поступательного движения:

$$x=x_0+v_0t+{at^2\over2}$$

$$v=v_0+at$$

Формулы после замены:

$$\alpha=\alpha_0+\omega_0t+{\varepsilon t^2\over2}$$

$$\omega=\omega_0+\varepsilon t$$

Кроме того, при решении задач полезно выразить время из одной формулы, и подставить его в другую, получив соотношение, нередко сильно упрощающее расчеты:

$$\alpha ={\omega^2-\omega_0^2 \over 2 \varepsilon}$$

Следует отметить, что формулы для поступательного движения могут иметь векторную форму, все параметры могут быть направлены по-разному. При вращении движение совершается по фиксированной траектории. Поэтому значения в формулах для вращательного движения скалярны. В остальном – аналогия полная.

Аналогия кинематических уравнений для поступательного и вращательного движения

Рис. 2. Аналогия кинематических уравнений для поступательного и вращательного движения.

Связь угловых и линейных значений

При вращательном движении угол и пройденное расстояние прямо пропорциональны, коэффициент пропорциональности равен радиусу $R$. Поэтому для нахождения линейных значений достаточно умножить соответствующие угловые значения на радиус:

  • $S = \alpha R$
  • $v = \omega R$
  • $a = \varepsilon R$

Кроме линейного ускорения, меняющего модуль скорости, на любое вращательное тело также действует центростремительное ускорение, меняющее направление скорости. Оно равно:

$$a_ц = \omega_2 R = {v^2\over R}$$

Вектор центростремительного ускорения

Рис. 3. Вектор центростремительного ускорения.

Что мы узнали?

При вращательном движении все точки тела проходят за одно и то же время одинаковый угол. Поэтому для описания вращательного движения используются угловые скорость и ускорение. Они прямо пропорциональны линейным, для их нахождения необходимо угловую величину умножить на радиус вращения.

Тест по теме

  1. Вопрос 1 из 5

    Траектории точек при вращении представляют собой …

Начать тест(новая вкладка)
Доска почёта
Чтобы попасть сюда - пройдите тест.

    Оценка доклада

    Средняя оценка: 4.5. Всего получено оценок: 98.

    Предметы