Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона – фундамент классической механики, который дает понятие о причинах движения. На его основе строится решение многих прикладных задач и задач школьного курса физики. Поэтому важно понимать его суть и уметь применять на практике.

Формулировка второго закона Ньютона

В первоначальной формулировке закона было сказано, что изменение количества движения (то есть импульса) пропорционально силе, заставляющей тело двигаться, и направлено по направлению действия силы.

Математически это можно записать так:

$$\vec{F} = {d\vec{p} \over \vec{dt}}$$

Буква d от delta – изменение, разность. Называется дифференциалом, а частное двух дифференциалов, в котором одно значение – переменная (время t), другое – функция (импульс p) – производная. То есть, это скорость изменения функции.

Геометрический смысл производной

Рис. 1. Геометрический смысл производной.

Но: $\vec{p} = {m\vec{v}}$

Тогда уравнение (2) можно переписать в следующем виде:

$$\vec{F} = m{d\vec{v} \over \vec{dt}}$$

Второй множитель – это определение ускорения. Ускорение есть быстрота изменения скорости движения.

Тогда запись второго закона Ньютона примет привычный вид:

$$\vec{F} = m\vec{а}$$

Или, разделив обе части на m:

$\vec{a} = {\vec{F} \over \ {m}}$ – ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально приложенной к нему силе и обратно пропорционально его массе. Чем больше масса, тем меньше ускорение, чем больше сила, тем больше ускорение. Данный закон также называют основным законом классической механики.

Под F здесь понимают геометрическую сумму всех действующих на тело (то есть внешних) сил. Иными словами, их равнодействующую.

Геометрическая сумма – это сумма векторных величин. Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или параллелограмма. Поэтому для расчета равнодействующей сил необходимы значение модулей сил и углы между силами.

Нахождение равнодействующей сил

Рис. 2. Нахождение равнодействующей сил.

Второй закон справедлив для инерциальных и неинерциальных систем отсчета, для материальных точек и произвольных тел, так как любое тело можно представить множеством материальных точек (местом приложения силы будет центр масс тела.

Для расширения второго закона Ньютона на случай неинерциальных систем отсчета вводят понятие инерциальных сил, таких, например, как центробежная сила или сила Кориолиса. Математическая формулировка будет выглядеть так: $\ m\vec{а}={\vec{F} \ + \vec{F_и}}$. Индексом “и” обозначены инерциальные силы.

Применение основного закона классической динамики

Рассмотрим тело, на которое действует несколько сил. Допустим, это машина, застрявшая в грязи. Ее пытается вытянуть вторая машина, зацепив ее тросом. Таким образом, первая машина стремится изменить свое количество движения под действием силы натяжения троса, силы тяги и сил трения. Так будет выглядеть формула второго закона Ньютона для первой машины:

$$m\vec{а}={\vec{T} \ + \vec{F_{тр}} + \vec{F_т}}$$

Или в скалярной форме:

$$mа={T – F_{тр} + F_т}$$

Теперь же предположим, что равнодействующая сил обращает в нуль (силы трения, силы тяги и силы натяжения нити). Тогда машина будет покоиться или двигаться равномерно и прямолинейно. Это утверждение можно расширить на случай системы тел: если при взаимодействии друг с другом частей системы внутренние силы суммарно равны нулю, а внешние силы скомпенсированы или не действуют, то система тел покоится или движется равномерно.

Исаак Ньютон

Рис. 3. Исаак Ньютон.

Задачи

  • На тело действуют две силы. Угол между ними – 60˚. Найти их равнодействующую.

Решение первой задачи

Так как равнодействующая сил равна их геометрической (векторной сумме), запишем:

$$\vec{F}={\vec{F_1} \ + \vec{F_2}}$$

Сложение будем выполнять по правилу треугольника. Равнодействующая по модулю будет равна длине основания треугольника, построенного на векторах двух сил и углом при вершине 120˚. Длину найдем по теореме косинуса.

$$F=\sqrt{F_1^2 + F_2^2 – 2F_1F_2cos(120)}$$

$$F=\sqrt{F_1^2 + F_2^2 – 2F_1F_2cos(180-60)}$$

$$F=\sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2cos(60)}$$

$$F=\sqrt{F_1^2 + F_2^2 – F_1F_2}$$ – окончательный ответ.

  • Через блок перекинута веревка. На одном ее конце закреплен груз. На другом конце висит альпинист той же массы, что и груз. Что будет с системой, если альпинист начнет карабкаться вверх? Массой веревки и трением в блоке пренебречь.

Решение второй задачи

Запишем второй закон Ньютона для альпиниста и для груза.

$$mа_1={T_1 – mg}$$

$$mа_2={T_2 – mg}$$

Но $T_1={T_2}$

Поэтому:

$${mа_1} = {mа_2}$$

Сократив массы, получим, что их ускорения одинаковы. Альпинист и груз будут подниматься с одинаковыми ускорениями и достигнут блока одновременно. Если бы масса альпиниста была меньше массы груза, то груз поднимался бы быстрее.

Что мы узнали?

В ходе урока был сформулирован второй закон Ньютона в его современной форме, выяснена его сущность и рассмотрены примеры его использования в реальных ситуациях. В завершение урока были кратко разобраны две простые задачи на нахождение равнодействующей сил и на применение второго закона Ньютона.

Тест по теме

Оценка доклада

Средняя оценка: 4.7. Всего получено оценок: 129.

Предметы