Центростремительное ускорение

Важнейшим кинематическим параметром неравномерного движения является ускорение. Если движение материальной точки происходит по окружности, то в этом движении всегда есть ускорение, называемое центростремительным. Получим формулу центростремительного ускорения.

Движение с ускорением

В 9 классе известно, что ускорение — это величина, которая характеризует, как быстро изменяется скорость. Оно равно отношению изменения скорости ко времени, за которое это изменение произошло:

$$\overrightarrow a={Δ \overrightarrow v \over Δt}$$

Если ускорение точки равно нулю, то точка движется равномерно и прямолинейно. В случае если вектор скорости изменяется, в движении присутствует ускорение.

Движение с ускорением

Рис. 1. Движение с ускорением.

Ускорение при движении по окружности

Подчеркнем: ускорение характеризует любое изменение вектора скорости, не только по модулю, но и по направлению.

Даже при движении с постоянным модулем скорости, если направление вектора скорости меняется, ускорение в таком движении не равно нулю. Следовательно, криволинейное движение (даже равномерное) — это всегда движение с ускорением.

Криволинейное движение

Рис. 2. Криволинейное движение.

Наиболее частым случаем криволинейного равномерного движения является движение по окружности. В таком движении модуль скорости материальной точки не меняется, а траектория движения представляет собой окружность. Найдем ускорение такого движения.

Если рассмотреть вектор перемещения точки по окружности за малое время $Δt$, то относительное изменение вектора скорости будет равно отношению вектора перемещения к радиусу поворота:

$${|Δ\overrightarrow v| \over v}={|Δ \overrightarrow r |\over R}$$

Разделив это соотношение на $Δt$, получим:

$${1\over v}{|Δ\overrightarrow v| \over Δt}={1\over R}{|Δ \overrightarrow r |\over Δt}$$

Откуда:

$${|Δ\overrightarrow v| \over Δt}={v\over R}{|Δ \overrightarrow r |\over Δt}$$

Отношение изменения вектора скорости ко времени в левой части по определению равно ускорению. Отношение вектора перемещения ко времени в правой части по определению равно скорости:

$$a={|Δ\overrightarrow v| \over Δt} $$

$$v={|Δ \overrightarrow r |\over Δt} $$

Подставляя эти отношения в формулу выше, получим:

$$a={v^2\over R}$$

Поскольку мгновенная скорость и радиус при равномерном движении по окружности постоянны, то и модуль ускорения при движении по окружности также постоянен. Направление же вектора ускорения постоянно меняется. Он всегда направлен в центр окружности, по которой движется материальная точка. Поэтому такое ускорение называется центростремительным.

Центростремительное ускорение

Рис. 3. Центростремительное ускорение.

В задачах нередко известна не мгновенная, а угловая скорость движения $\omega = 2\pi\nu$ ($\nu$ — частота вращения). Формула угловой скорости:

$$v=\omega R$$

Если подставить это соотношение в предыдущее, то для центростремительного ускорения можно получить формулу через угловую скорость:

$$a={\omega^2 R}$$

Что мы узнали?

Криволинейное движение, даже если оно равномерно, — это всегда движение с ускорением. При равномерном движении по окружности ускорение всегда направлено в центр окружности, и поэтому называется центростремительным. Его модуль постоянен, а направление всегда перпендикулярно вектору скорости.

Тест по теме

  1. Вопрос 1 из 5

    Ускорение характеризует:

Начать тест(новая вкладка)
Доска почёта
Чтобы попасть сюда - пройдите тест.
    Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка доклада

Средняя оценка: 4.7. Всего получено оценок: 180.

Предметы