Образовака💯 Математика5 классОбыкновенные дроби

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Средняя оценка: 4

Всего получено оценок: 351.

Дроби – это первое серьезное препятствие в курсе математики 5 класса. Если геометрическая часть преодолевается учениками без особых проблем, то понять, что складывать и вычитать можно не только целые числа, но и их части. Поэтому чтобы разобраться в сложении и вычитании дробей с разными знаменателями раз и навсегда поговорим о этой теме подробнее.

Что такое дробь?

На самом деле это очень интересный вопрос, поскольку именно он лежит в основе навыка сложения и вычитания дробей. В школьном курсе говорят, что дробь 5/7 означает, что пирог разделили на 7 частей и из них взяли 5. Это в общем-то верное определение, то слишком затянутое.

В учебники старших классов утверждают, что знак дроби заменяет знак деления. Что это значит? Это значит, что операцию деления не довели до конца, а просто заменили на дробь и уже с этой дробью стали производить какие-то манипуляции.

Приведем пример все с той же дробью:

$$5:7={5\over{7}}$$ – так это выглядит при записи в виде цифр.

Зачем это нужно?

Дело в том, что не всякое деление можно довести до конца, то есть может выйти либо деление с остатком, либо бесконечный результат. А потому в точных вычислениях используют подобные заменители, ведь пока вы не получили результат выражение будет считаться абсолютно точным.

В школьном курсе математики ставится задача научить учеников работать с дробями, чтобы облегчить точные расчеты в будущем.

Сложение дробей

Сложение и вычитание дробей процесс, который целиком и полностью зависит от числителя. Рассмотрим сложение двух дробей: ${5\over{7}} и {9\over{13}}$

Рассмотрим дроби, как операции деления, чтобы понять, зачем нужно перед сложением приводить дроби к одинаковым знаменателям:

$${5\over{7}}+{9\over{13}}=(5:7)+(9:13)$$ – дело в том, что при сложении дробей используется сочетательное свойство деления, которое говорит о том, что при делении двух слагаемых на одно и то же число, можно сначала сложить слагаемые, а потом сумму разделить на это число.

В виде формулы это выглядит так:

а:с+в:с=(а+в):с

Теперь становится ясно, зачем нужно приведение к одному знаменателю: иначе свойство работать не будет. А теперь доведем пример до конца:

$${5\over{7}}+{9\over{13}}$$ – каждый из знаменателей домножим на другой знаменатель.

В общем случае нужно найти НОК, но если НОК ищется для простых чисел, то достаточно перемножить их между собой.

Общий знаменатель в нашем случае: 7*13=91 – в первой дроби необходимо домножить числитель и знаменатель на 13, а во второй на 7.

$${5\over{7}}+{9\over{13}}={{5*13}\over{7}}+{{9*7}\over{13}}={{65+63}\over{91}}={128\over{91}}$$ – в нашем случае результатом стала неправильная дробь. Так как это конечный итог вычислений, то можно как выделить целую часть, так и оставить результат как есть.

Вычитание дробей

Если перед вами разность дробей с разными знаменателями, то смысл операций абсолютно не меняется, так как сложение и вычитания есть одна операция, которая называется математическое сложение.

Для примера разберем разность дробей:

$${1\over{3}}-{1\over{5}}$$ – оба знаменателя являются простыми числами, а потому общим знаменателем будущего результата будет число: 3*5=15

$${1\over{3}}-{1\over{5}}={5\over{15}}-{3\over{15}}={{5-3}\over{15}}={2\over{15}}$$ – как видите, изменилась лишь операция в числителе: вместо сложения стало вычитание при том же порядке действий.

Что мы узнали?

Мы поговорили о дробях. Узнали, что это такое, как складывать и вычитать дроби. Выяснили, почему для сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, нужно сначала привести числа к одному знаменателю.