Образовака💯 Математика5 классОбыкновенные дроби

Вычитание дробей с разными знаменателями

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 60.

Вычитание дробей само по себе достаточно сложная задача, а уж вычитание дробей с разными знаменателями и вовсе порой ставит учеников 5 класса в ступор. Поэтому стоит разобраться в этой теме подробнее раз и навсегда.

Вычитание дробей

Вычитание дробей возможно только при одинаковых знаменателях.

Если вычитаемое больше уменьшаемого, то результатом станет отрицательное число.

При вычитании дробей мы создаем новую дробь, в числителе которой будет разность числителей изначальных дробей, а знаменатель останется прежним.

Следующим преобразованием будет вычисление разности в числителе.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Если у дробей разные знаменатели, то необходимо первым делом привести дроби к общему знаменателю. Для этого нужно воспользоваться правилом дробей.

Основное свойство дробей заключается в том, что при умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, значение дроби не изменится. Это обусловлено тем, что по факту дробь является не законченной операцией деления, а умножение делителя и делимого на одно и то же число не изменит частное.

Как найти общий знаменатель?

Общей знаменатель это НОК или наименьшее общее кратное. Наименьшее общее кратное двух и более чисел, это число, которое делится на каждое из них.

Для нахождения наименьшего общего кратного ряда простых чисел, нужно просто перемножить их между собой.

$$НОК=3*5*7=105$$

Но что будет, если в ряде будет три сложных числа?

18,15,25 – найдем для этого ряда НОК.

Для этого, каждое из чисел нужно разложить на простые множители.

$$18=2*3*3$$

$$15=3*5$$

$$25=5*5$$

Для того, чтобы найти НОК нужно перемножить простые множители чисел, которые еще не встречались.

Начнем с числа 2. Двойка встречалась только в простых множителях числа 18, вычеркнем ее.

$$НОК=2*…$$

Следующее число 3. Вычеркиваем одну тройку из разложения числа 18 и из разложения числа 15.

$$НОК=2*3…$$

У нас осталась еще одна тройка в разложении числа 18.

$$НОК=2*3*3…$$

Теперь посмотрим, какое число осталось в разложении 15. Это 5:

$$НОК=2*3*3*5…$$

Вычеркиваем одну 5 из разложения числа 15 и одну из разложения числа 25. Осталось одно число, множители которого не зачеркнуты: это 25, где осталась одна 5. Добавим ее в НОК и получим окончательное значение:

$$НОК=2*3*3*5*5=450$$

Так нужно действовать с любым рядом чисел, для которых необходимо найти НОК.

Пример

Теперь рассмотрим пример вычитания дробей с разным знаменателем. Найдем следующую разность:

$${37\over{81}}-{91\over{180}}$$

Первым шагом нам нужно найти будущий общий знаменатель, который будет являться НОК(81,180)

Разложим на простые множители число 81

81=3*3*3*3

Разложим на простые множители число 180

180=2*2*3*3*5

Значит, для того, чтобы получить НОК нам необходимо домножить 81 на 5*2*2 или домножить 180 на 3*3. Второй вариант немного проще, поэтому используем его:

180*3*3=180*9=1620

Для того, чтобы сложное число умножить на 9 необязательно умножать. Можно упростить вычисления следующим образом: умножить число на 10 и вычесть это же число. То есть: 180*9=180*10-180=1800-180=1620

Теперь приведем каждую из дробей к общему знаменателю:

$${37\over{81}}={{37*20}\over{81*20}}={{740}\over{1620}}$$

$${91\over{180}}={{91*9}\over{180*9}}={{809}\over{1620}}$$

Вычтем получившиеся значения:

$${{740}\over{1620}}-{{809}\over{1620}}={{740-809}\over{1620}}=-{{69}\over{1620}}$$ – получилось отрицательно число, но в этом нет ничего страшного. Просто изначально уменьшаемое было меньше вычитаемого