Сложение дробей с разными знаменателями

Сложение дробей с разными знаменателями это, пожалуй, самая сложная тема математики 5 класса. Чтобы не допускать ошибок в будущем и настоящем, разберем подробнее эту тему и выявим наиболее распространенные ошибки.

Что такое дробь?

Дробью называют незавершенную операцию деления. Это значит, что любую дробь можно превратить в привычное число, поделив числить на знаменатель. Чаще всего результатом такого деления является десятичная дробь. Почему люди не используют все время десятичные дроби, если все равно все сводится к такому виду записи.

Проблема в том, что большая часть обыкновенных дробей не переводится в десятичные. Получается бесконечная дробь. А сокращение дроби в результате деления приведет к уменьшению точности вычислений. Поэтому и используются обыкновенные дроби.

Если переводить это определение в реальную жизнь, то можно сказать, что знаменатель это количество частей, на которое разделили целое, а числитель – части, которые взяли себе, отбросив в сторону основные.

Почему нельзя складывать дроби с разными знаменателями?

Несколько сотен лет назад этого правила не было. Тогда в расчетах купцов часто встречались следующие рассуждения: 3 сотые части бочонка были куплены вместе с двумя третьими соболиного меха и так далее. Такой метод исчисления крайне неудобен.

Знаменатели в мире дробей это как единицы измерения в физике. Нельзя складывать вместе слонов и зайцев, пироги и пельмени, ${2\over{3}}$ и ${4\over{9}}$. Просто потому, что это разные числа. Поэтому для того, чтобы сложить

Как найти общий знаменатель дробей?

В знаменателе всегда стоит какое-то число. Общим знаменателем дробей называется наименьшее общее кратное этих чисел. В самом простом случае, оба знаменателя представлены простыми числами. Тогда кратное находится как произведение этих чисел.

В произвольном случае, нужно следовать правилу:

  • Числа раскладываются на простые множители. Не обязательно чисел будет два. Ведь не всегда складывается две дроби, в примере может быть любое количество чисел.
  • В знаменателях ищут общие простые множители. Эти множители желательно выделить отдельно. Так мы находим общую часть чисел.
  • Если общей части у чисел нет, то кратное находится как произведение чисел друг на друга.
  • Кроме общей части у чисел остаются множители, характерные для каждого числа в отдельности. Для того, чтобы найти кратное, выписывается общая часть и умножается на каждый из уникальных множителей
Рассмотрим отдельно пример нахождения НОК для чисел 27 и 48
  1. 27=3*3*3

    48=2*2*2*2*3

  2. Общей частью чисел является только один множитель 3
  3. НОК=3*(3*3)*(2*2*2*2) – произведение 3 было взято из разложения числа 27, произведение 2 является уникальной частью числа 48
  4. Подведем итог: НОК=3*9*16=432

Большие числа часто получаются при нахождении общего знаменателя. Ученики могут испугаться этого и начать искать ошибку, теряя время. Поэтому нужно верить в свои силы.

Пример

Рассмотрим небольшой пример сложения дробей:

${3\over{22}}+{7\over{47}}+{5\over{44}}$ – заметим, что первый и третий множители имеют схожие делители. Сложение лучше произвести сначала для них.

22=11*2

44=11*2*2

Для того, чтобы найти сумму дробей нужно домножить 3/22 на 2.

${3\over{22}}={6\over{44}}$

${3\over{22}}+{5\over{44}}={6\over{44}}+{5\over{44}}={11\over{44}}={1\over{4}}$ – заметим, что дробь сократилась. Таким образом? у нас получилось упростить конечные вычисления.

Пример принимает следующий вид:

${3\over{22}}+{7\over{47}}+{5\over{44}}={1\over{4}}+{7\over{47}}$ – число 47 является простым. Это можно узнать по таблице простых чисел. Значит, для нахождения НОК этих чисел, их нужно перемножить.

4*47=188

${1\over{4}}+{7\over{47}}={{1*47+7*4}\over{188}}={75\over{188}}$

Что мы узнали?

Мы поговорили о дробях. Узнали, зачем нужно приводить дроби к одному знаменателю перед сложением. Поговорили о том, как найти общий знаменатель. Рассмотрели небольшой пример сложения дробей с разными знаменателями.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4. Всего получено оценок: 89.

Предметы